Matemáticos descubren dos nuevos tipos de infinitos que rompen todas las reglas

Siempre se ha creído que los infinitos formaban una escalera ordenada, pero dos nuevos tipos descubiertos recientemente podrían demostrar que el caos domina incluso en las cumbres de lo infinitamente grande.

​Siempre se ha creído que los infinitos formaban una escalera ordenada, pero dos nuevos tipos descubiertos recientemente podrían demostrar que el caos domina incluso en las cumbres de lo infinitamente grande.  

Para quienes no estamos sumergidos en el universo matemático, el infinito suele evocarnos una simple imagen: una línea numérica extendiéndose eternamente hacia el horizonte. Parece un concepto simple, ¿verdad? Sin embargo, la realidad es mucho más compleja y fascinante. Y es que, si indagamos un poco, encontramos un «secreto» que pocos conocen: no hay un solo infinito, sino muchos diferentes, ordenados en niveles como una escalera sin fin, cada uno más complejo que el anterior.

Ahora, todo parece indicar que esta escalera se ha vuelto aún más compleja. Matemáticos de la Universidad Tecnológica de Viena y la Universidad de Barcelona aseguran haber descubierto dos nuevos tipos de infinito, un hallazgo que desafía nuestro entendimiento actual de las reglas matemáticas establecidas.

Los múltiples niveles del infinito matemático: más allá de Cantor

Aunque pueda resultar sorprendente, la existencia de diferentes tipos de infinito no es nueva. Ya en 1878, Georg Cantor demostró que el conjunto infinito de los números reales (que incluye negativos y decimales) es más grande que el conjunto infinito de los números naturales (1, 2, 3…).

Desde entonces, los matemáticos han construido una escalera ascendente de infinitos cada vez más grandes, creando una jerarquía que es, irónicamente, infinita en sí misma. «La gente ha estado proponiendo nociones de infinito cada vez más grandes», explica a New Scientist Juan Aguilera de la Universidad Tecnológica de Viena.

Pero los nuevos infinitos descubiertos, presentados a finales del año pasado en un artículo en el servidor de preimpresos arXiv, –denominados «cardinales exactos» y «ultraexactos»– no cuadran en esta escalera ordenada. «No encajan exactamente en esta jerarquía lineal», agrega Aguilera al medio científico. «Interactúan de manera muy, muy extraña con otras nociones de infinito».

Cardinales exactos y ultraexactos: los nuevos infinitos descubiertos

Para entender estos peculiares nuevos infinitos, de manera más simplificada, podemos recurrir a una metáfora arquitectónica. Como expone New Scientist, los cardinales exactos son conjuntos tan grandes que contienen copias matemáticamente exactas de toda su estructura, algo así como una casa que contiene múltiples modelos a escala completa de sí misma dentro de sus paredes.

Los cardinales ultraexactos van un paso más allá: no solo contienen copias de sí mismos, sino también las reglas matemáticas para crearlos, como si esa casa anidada estuviera también «empapelada con planos de sí misma».

El axioma de elección y las regiones del infinito en matemáticas

Estas extrañas propiedades tienen implicaciones profundas. A principios del siglo XX, los matemáticos establecieron un conjunto de reglas fundamentales para las matemáticas, incluyendo el controvertido axioma de elección. 

Según este axioma, siempre es posible formar un nuevo conjunto seleccionando elementos de otros, sin necesidad de especificar el método para hacerlo. Hoy en día, dicho axioma divide a los infinitos en tres grandes categorías: los que acatan la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (donde se incluye el axioma de elección), los que están en el extremo superior y generan tal caos que rompen por completo esas reglas (producen caos matemático), y, en medio, una segunda región donde los infinitos parecían encajar de forma intermedia. 

Al principio, los investigadores creyeron que los nuevos cardinales exactos y ultraexactos se ubicarían en esta región intermedia. Pero, para su sorpresa, en lugar de ajustarse perfectamente, estos cardinales podrían estar o en la cima de esa zona, o incluso formar una especie de «cuarta región» al lado de lo que se considera la región caótica.

«No está muy claro si están en la cima de esta región intermedia, donde los axiomas siguen siendo compatibles con todos los demás axiomas de la teoría de conjuntos, o si están formando una cuarta región que está como al lado de la región caótica, pero encima de las anteriores», aseguró Aguilera, al explicar cómo los nuevos cardinales se resisten a esta clasificación.

¿Por qué esto importa? 

Una razón está ligada a la llamada conjetura HOD (Hereditariamente Ordinal Definible). Según explican en New Scientist, esa conjetura propone que, en escalas infinitas muy grandes, el axioma de elección recobraría orden en vez de generar contradicciones. Sin embargo, si los cardinales exactos y ultraexactos son admitidos por la comunidad matemática –algo que aún está por verse–, podrían demostrar que, en realidad, no hay tal orden y que quizá el caos domina incluso en la cumbre de lo infinito.

Esto no significa que todas las esperanzas estén perdidas: algunos expertos, como Gabriel Goldberg de la Universidad de California, Berkeley, consideran que es pronto para descartar por completo la posibilidad de que exista cierta estructura y orden en los niveles más altos del infinito. Así que, sea cual sea el desenlace, todo parece indicar que la discusión no ha hecho más que empezar.

Del infinito a la criptografía y cosmología

Estos nuevos infinitos trascienden la mera curiosidad académica. Según señala ZME Science, las implicaciones de este hallazgo podrían extenderse mucho más allá del ámbito matemático puro. El concepto de infinito desempeña un papel fundamental en disciplinas como la criptografía, la inteligencia artificial y la cosmología. Cada avance en nuestra comprensión de los infinitos podría desbloquear soluciones revolucionarias en campos aparentemente distantes, desde los sistemas de seguridad digital hasta la exploración de los misteriosos agujeros negros que pueblan nuestro universo.

Por ahora, estos nuevos infinitos aguardan la aceptación de la comunidad matemática global. Mientras tanto, surge inevitablemente la pregunta: ¿podremos comprender alguna vez completamente el universo si el infinito continúa sorprendiéndonos con nuevas complejidades? Quizás, en una paradoja fascinante, nuestro viaje para entender el infinito sea, en sí mismo… infinito.

Editado por Felipe Espinosa Wang con información de New Scientist, ZME Science, IFL Science y arXiv.

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