Matemáticos descifran enigma centenario que unifica las leyes de los fluidos

Durante 125 años, el problema número seis de los 23 propuestos por Hilbert resistió los esfuerzos de generaciones de matemáticos. Ahora, tres investigadores podrían haber encontrado la clave.

​Durante 125 años, el problema número seis de los 23 propuestos por Hilbert resistió los esfuerzos de generaciones de matemáticos. Ahora, tres investigadores podrían haber encontrado la clave.  

Un enigma matemático planteado hace más de un siglo parece haber encontrado respuesta gracias al trabajo de un trío de investigadores que, después de más de media década de trabajo, habrían llegado a unificar las leyes de la física que rigen los fluidos en distintas escalas; tanto el movimiento de un océano entero como el de cada gota de agua que lo compone. Se trata del llamado «sexto problema de Hilbert», propuesto hace más de 120 años por el influyente matemático David Hilbert.

En 1900, el científico alemán presentó 23 problemas fundamentales durante el Congreso Internacional de Matemáticos. El sexto de estos problemas planteaba un reto formidable: crear un marco matemático unificado que pudiera describir tanto el comportamiento de partículas individuales como el de fluidos completos.

El desafío centenario de las ecuaciones de fluidos de Hilbert

En concreto, este desafío buscaba tender un puente entre tres escalas diferentes: el nivel microscópico donde las partículas individuales siguen las leyes del movimiento de Newton; el nivel intermedio o mesoscópico gobernado por las leyes estadísticas de Boltzmann; y finalmente el nivel macroscópico, donde entran en juego ecuaciones como la notoriamente difícil Navier-Stokes-Fourier que describe el comportamiento de los fluidos.

Ahora, un trío de matemáticos asegura haber dado con la respuesta. Zaher Hani, de la Universidad de Michigan, Deng Yu, de la Universidad de Chicago, y Ma Xiao, también en Michigan, presentaron en marzo un artículo, publicado en arXiv –una plataforma de acceso abierto, y aún está pendiente de revisión por pares– , en el que aseguran haber resuelto el sexto problema de Hilbert.

Tal como se detalla en su estudio, el equipo habría logrado derivar rigurosamente las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, como las ecuaciones de Euler compresibles y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes-Fourier, partiendo de sistemas de partículas microscópicas que experimentan colisiones elásticas.

De las partículas de Newton a las ecuaciones de Navier-Stokes

Un ingrediente clave del enfoque fue la reconfiguración de los cálculos utilizando diagramas originados por el físico Richard Feynman. Los matemáticos encontraron una manera de reducir el número de diagramas necesarios, lo que les permitió construir un camino matemático claro desde las leyes de Newton hasta las complejas ecuaciones que describen fluidos.

El trabajo también resuelve una paradoja relacionada con el tiempo. Como explica Yu Deng en New Scientist, las leyes de Newton no son sensibles a la dirección del flujo temporal (son reversibles), mientras que las ecuaciones de Boltzmann sugieren una forma de demarcar el «antes» y el «después». El trabajo del equipo aclara cuándo y cómo ocurre este cambio, eliminando la posibilidad de contradicciones matemáticas.

«Un año de milagros» para matemáticos chinos

Para la comunidad matemática china, este avance ha sido celebrado con entusiasmo. En redes sociales, según recoge South China Morning Post, algunos lo describen como parte de «un año de milagros» para los matemáticos chinos, destacando la participación de Deng y Ma en el resultado. Como explicó Ma en la plataforma Zhihu, el sexto problema de Hilbert trata de entender si las leyes físicas pueden verse como consecuencias lógicas de axiomas matemáticos. En este caso, parece que sí.

En ese sentido, algunos expertos destacan la magnitud de este avance. «Este es un resultado importante desde mi punto de vista. Pensé que estaba completamente fuera de alcance», señaló Benjamin Texier de la Universidad de Lyon en Francia, quien no participó en el estudio, según declaraciones recogidas por New Scientist.

Sin embargo, los propios investigadores son cautelosos. Hani ha señalado que no consideran que su trabajo cierre completamente el libro sobre la búsqueda de Hilbert, sino que abre nuevas vías para comprender mejor las limitaciones de los modelos matemáticos actuales.

Este avance podría revolucionar nuestra comprensión de fenómenos complejos en la atmósfera y los océanos. Particular interés existe en comprender qué ocurre cuando las ecuaciones de fluidos desarrollan singularidades –puntos donde las soluciones matemáticas pierden sentido– algo común en ciencia atmosférica y oceanografía.

Para Texier, según recoge el New Scientist, todas las implicaciones del nuevo trabajo aún no están claras debido a su complejidad. «Creo que va a requerir mucho esfuerzo para que la comunidad la digiera», afirmó.

Futuro de la mecánica de fluidos unificada

La importancia de este logro trasciende el campo puramente matemático. Las aplicaciones potenciales abarcan desde el diseño de sistemas hidráulicos y aerodinámica hasta la construcción de presas y puentes, consolidando así un vínculo entre la teoría más abstracta y los problemas de ingeniería más prácticos.

El siguiente reto, coinciden los investigadores, será determinar en qué situaciones estas ecuaciones podrían fallar y cómo la teoría podría ampliarse o ajustarse para describir fenómenos más extremos, asegurando que el legado de aquel problema de 1900 siga vivo en la frontera de la física y las matemáticas.

Editado por Felipe Espinosa Wang con información de arXiv, New Scientist y South China Morning Post.